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第427章 65 卡文了水一章不要在意本章内容（第2页）

φ（0）＝0之倒数，φ（1）＝无穷小，……

φ（0）＝无穷小，φ（1）＝0之倒数，……

φ（0）＝0之倒数，φ（1）＝无穷大，……

φ（0）＝无穷大，φ（1）＝0之倒数，……

（把上面的“无穷小”“无穷大”换成“高阶无穷小”“高阶无穷大”、“超阶无穷小”“超阶无穷大”、…………等等等等接着继续叠。）

（上述盒子的本化形式我这里就懒得写了……）

（超实数是极限论的无限，不同于阿列夫数、大基数这些集合论的无限，我们姑且可以将这两张类型无限分别称作：极限无穷和集合无穷。

在人类的数学研究意义上，无穷大致可以分为三类：无穷小、无穷大、无穷多。

极限无穷是一种极限概念，无穷小、无穷大，都是极限概念。

集合无穷是一种数量概念，无穷多就是一种数量概念。

也就是说，无穷除了分为三类以外，也可以分为两种概念：极限概念无穷，数量概念无穷。

只有数量概念无穷才有可数、不可数之分，比如说所有自然数组成的集合，也就是所有自然数的数量，是阿列夫零w。

极限概念无穷并不讨论这些，极限概念无穷只在于“极限”，比如说对于任意数列a_n＝1，2，3，……，它的极限，或者说这个“n”的最大取值是∞，无穷大，亦可以写作超实数n。

通常来说，极限论的极限概念（超实数n、无穷大∞）在集合论的数量概念上只能抵达阿列夫零，也就是可数无穷，包括可数序数也在其内。

集合论的本质是发掘新的双射关系，每一次发掘都会增强公理系统本身的强度。

极限论的极限本质上是一个函数，只要是能够进行任何运算——无论该运算的强度是多高还是多弱——的公理系统都可以定义极限，甚至是导出无穷。

但有一点无需明确，极限论只能做到现有公里系统之下的最强，而集合论则是带动公理系统整体加强。

极限论+集合论是最完美的组合，一个加强公理系统，一个抵达现有公理系统的极限。）

（定义计算器或计数器：

φ（0）＝无穷小，φ（1）＝无穷大，φ（2）＝无穷多……

φ（0）＝极限概念无穷，φ（1）＝数量概念无穷，……

φ（0）＝极限论，φ（1）＝集合论，……

φ（0）＝极限论，φ（1）＝极限论+集合论，……

φ（0）＝集合论，φ（1）＝极限论+集合论，……

上述盒子的本化我也不写了。）

………………

无限，深邃而又神秘，蕴含着无穷无尽、超越无穷的奥秘。

众所周知，无限有不同的版本，不同的版本有不同的性质，这里要说一下本书的常用无限——序数无限w。

w运行进行运算，但只允许进行增长运算，只能变大，不能变小。